Fractions : enfin un cours clair pour additionner, soustraire, multiplier et diviser sans paniquer

Les fractions, on les croise partout : au collège, au lycée, dans les concours (Tage Mage, CRPE…), et même dans la vie de tous les jours. Un demi-gâteau, un quart d’heure, trois quarts d’un plein d’essence… Si tu les fuis depuis des années, ce cours est là pour remettre les choses à plat, calmement.

On va revoir ensemble :

• comment additionner et soustraire des fractions sans se tromper ;

• comment multiplier des fractions (et pourquoi c’est plus simple qu’il n’y paraît) ;

• comment diviser par une fraction grâce à la notion d’inverse ;

• et comment simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

L’objectif : que tu te sentes enfin à l’aise avec ces écritures, que tu prépares un contrôle, le brevet, ou un test type.

1. Addition et soustraction de fractions : même dénominateur, sinon rien

La règle de base

Pour additionner ou soustraire des fractions, il y a une règle d’or :

On ne touche pas aux dénominateurs tant qu’ils ne sont pas identiques.
On n’additionne / ne soustrait que les numérateurs.

En clair :

• si les fractions ont le même dénominateur : c’est facile ;

• si elles ont des dénominateurs différents : il faut d’abord les mettre au même dénominateur.

Exemple simple (même dénominateur)

37+27=3+27=5773​+72​=73+2​=75​

Même dénominateur → on additionne juste les numérateurs.

Quand les dénominateurs sont différents

C’est là que beaucoup de monde se crispe… mais en réalité, la marche à suivre est toujours la même :

1. Trouver un dénominateur commun (un multiple commun des dénominateurs, idéalement le plus petit).

2. Réécrire chaque fraction avec ce nouveau dénominateur.

3. Additionner ou soustraire les numérateurs.

Exemple 1

A=13+14A=31​+41​

On cherche un multiple commun de 3 et 4 :

• 12 convient très bien, et c’est le plus petit (PPCM).

On réécrit :

13=412(on a multiplieˊ haut et bas par 4)31​=124​(on a multiplieˊ haut et bas par 4)14=312(on a multiplieˊ haut et bas par 3)41​=123​(on a multiplieˊ haut et bas par 3)

Donc :

A=412+312=712A=124​+123​=127​

Exemple 2 (plusieurs fractions)

B=12+16+19B=21​+61​+91​

On cherche un multiple commun de 2, 6 et 9.

• 18 fonctionne bien (et c’est le plus petit commun).

On met tout sur 18 :

• 12=91821​=189​

• 16=31861​=183​

• 19=21891​=182​

Donc :

B=918+318+218=1418=79B=189​+183​+182​=1814​=97​

On simplifie à la fin si possible (ici, on divise numérateur et dénominateur par 2).

Et les nombres « tout simples » sans dénominateur ?

Petit rappel malin :
tout nombre entier peut s’écrire comme une fraction avec dénominateur 1 :

3=31,−7=−713=13​,−7=1−7​

Ça peut servir pour les calculs : tu peux traiter un entier comme une fraction particulière.

2. Multiplication de fractions : beaucoup plus facile que l’addition

Bonne nouvelle : multiplier des fractions est souvent plus simple que les additionner.

La règle

Pour multiplier deux fractions :

On multiplie les numérateurs entre eux, puis les dénominateurs entre eux.

En notation :

ab×cd=a×cb×d(avec b≠0,d≠0)ba​×dc​=b×da×c​(avec b=0,d=0)

Pas besoin de dénominateur commun ici.

Penser à simplifier AVANT de multiplier

Astuce de pro :
avant de multiplier, regarde si tu peux simplifier en croix (un numérateur avec un dénominateur en face). Ça évite de te retrouver avec de gros nombres.

Exemple 1

C=610×59C=106​×95​

On peut simplifier :

• 6 et 9 sont divisibles par 3
  → $6=2\times 3$

• 5 et 10 sont divisibles par 5
  → $10=2\times 5$

On peut donc écrire :

C=610×59=2×32×5×53×3C=106​×95​=2×52×3​×3×35​

On simplifie :

• un 2 en haut et un 2 en bas,

• un 5 en haut et un 5 en bas,

• un 3 en haut et un 3 en bas.

Il reste :

C=23C=32​

3. Division de fractions : « diviser, c’est multiplier par l’inverse »

La division est souvent ce qui fait peur, mais la règle est très nette.

Rappel : l’inverse d’un nombre

Pour un nombre non nul $a$

• L’inverse de 3, c’est $1/3$

• L’inverse de $5/2$

La règle

Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse.

En écriture :

ab÷cd=ab×dc(avec c≠0)ba​÷dc​=ba​×cd​(avec c=0)

On ne garde pas le signe « ÷ » très longtemps : on le remplace vite par une multiplication.

Exemple

D=35÷27D=53​÷72​

On multiplie par l’inverse de $2/7$

D=35×72=3×75×2=2110D=53​×27​=5×23×7​=1021​

Là encore, tu peux simplifier si possible (ici, ce n’est pas le cas).

Un petit rappel de vocabulaire très utile en problèmes

Dans les énoncés de problèmes (fractions, pourcentages, proportions), les mots :

• du, de, des, d’
  se traduisent très souvent par un produit (×) en mathématiques

Par exemple :

• « les 3/5 du nombre » → 35×(nombre)53​×(nombre).

Et dans un problème ne comportant que des fractions, on garde en tête que le tout vaut 1.

4. Fractions irréductibles : la version « simplifiée au maximum »

Définition

On dit qu’une fraction est irréductible lorsque :

• son numérateur

• et son dénominateur

n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

Autrement dit : on ne peut plus simplifier.

Comment rendre une fraction irréductible ?

On cherche le PGCD (plus grand diviseur commun) du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce nombre.

Exemple 1

42565642​

• Les deux sont divisibles par 2, par 7, etc.

• Le PGCD est 14.

On divise :

4256=42÷1456÷14=345642​=56÷1442÷14​=43​

3443​ est irréductible.

Exemple 2

100298981002​

On remarque que 1002 et 98 sont divisibles par 2 (et par d’autres nombres).
Si l’on simplifie par 2 :

100298=50149981002​=49501​

Si 501 et 49 n’ont plus de diviseur commun, la fraction est irréductible. Ici, c’est le cas

En résumé : les réflexes à avoir avec les fractions

Pour vraiment être à l’aise, tu peux garder ces quelques phrases en tête :

• Addition / soustraction :

  • même dénominateur obligatoire,

  • sinon, on passe par un dénominateur commun,

  • puis on additionne/soustrait les numérateurs.

• Multiplication :

  • on multiplie numérateurs entre eux,

  • dénominateurs entre eux,

  • on simplifie avant ou après.

• Division :

  • on multiplie par l’inverse de la fraction divisante.

• Simplification :

  • on cherche ce par quoi numérateur et dénominateur sont tous les deux divisibles,

  • on avance jusqu’à obtenir une fraction irréductible.

Avec ces règles, plus quelques exercices ciblés, tu passes d’un sentiment de “galère floue” à une vraie maîtrise techniquedes fractions, que ce soit pour le collège, le lycée, le brevet, le Tage Mage ou le CRPE

Si tu veux, je peux maintenant te proposer :

• une fiche mémo ultra courte avec les 4 règles essentielles,

• ou une série de petits exercices progressifs (avec correction détaillée) pour ancrer tout ça.